30 Ιουνίου 2009

Σύνθετα Μοτίβα

Ένα από τα δυσκολότερα κεφάλαια, αν όχι το δυσκολότερο, στα μαθηματικά της ΣΤ΄ είναι τα Σύνθετα Μοτίβα (βλέπε σελίδα 131).Την πρώτη φορά που το δίδαξα δεν μπορώ να πω πως έμεινα ικανοποιημένος από τη διδασκαλία μου. Φέτος το δίδαξα για δεύτερη φορά, οπότε ήμουν σαφώς πιο προετοιμασμένος.

Συγκεκριμένα, αφιέρωσα στο μάθημα μια βδομάδα. Επιπλέον, μόλις τελείωσα τις δύο δραστηριότητες του βιβλίου και την εφαρμογή της άλλης σελίδας, δεν επανέλαβα το λάθος της πρώτης φοράς. Αντί να πάω κατευθείαν στο τετράδιο εργασιών, είπα στους μαθητές μου να βγάλουν τα κυβάκια τους και να προσπαθήσουν να δημιουργήσουν τα δικά τους σύνθετα μοτίβα. Ταυτόχρονα, κοιτώντας το γεωμετρικό σχέδιο, να επιχειρήσουν να βρουν τον κανόνα που θα τους επέτρεπε να ξέρουν τον αριθμό των κύβων οποιουδήποτε μεγέθους σχήματος. Έγινε χαμός. Η αποθέωση της ανακαλυπτικής διδασκαλίας. Τα παιδιά ενθουσιάστηκαν και έφτιαξαν φοβερά μοτίβα τα οποία παρουσίασαν στους υπόλοιπους συμμαθητές τους, ενώ σε μεγάλο βαθμό κατάλαβαν πώς πρέπει να αξιοποιούν το γεωμετρικό μοτίβο προκειμένου να ανακαλύπτουν τον κανόνα που τους επιτρέπει να υπολογίσουν τους κύβους σ' οποιοδήποτε μέγεθος θέλουν.

Παρακάτω παραθέτω δύο από τα μοτίβα που έφτιαξαν δύο διαφορετικά παιδιά, όχι και τα πιο δυνατά της τάξης στα μαθηματικά, καθώς και το γενικό κανόνα που τα ίδια ανακάλυψαν. Όπως βλέπετε, ενώ δεν υπήρξε καμιά επικοινωνία μεταξύ τους, και τα δύο μοτίβα έχουν το ίδιο αριθμητικό και ελαφρώς διαφορετικό γεωμετρικό μοτίβο.

Ένας άλλος μαθητής μου μου παρουσίασε το εξής μοτίβο:

Ανάγκασε όλη την τάξη και μένα μαζί να ψάχνουμε το γενικό κανόνα. Πάντως, επειδή είναι αρκετά περίεργο, καλό είναι, αν την παρούσα ανάρτηση τη διαβάσει κάποιος μαθηματικός, να σχολιάσει το συγκεκριμένο σημείο.

Βεβαίως, όπως πάντα, υπάρχουν και κάποιοι προβληματισμοί. Έτσι, το πρώτο κομμάτι της διδασκαλίας, όταν δηλαδή δουλεύαμε στα σχολικά βιβλία, ήταν κάτι ανάμεσα σε άμεση και αυστηρά καθοδηγούμενη ανακαλυπτική διδασκαλία. Αυτό ήταν κάτι που δε μου άρεσε. Όχι μόνο επειδή δεν είμαι οπαδός ούτε της μιας αλλά ούτε και της άλλης μεθόδου όσον αφορά τη διδασκαλία των μαθηματικών, αλλά και γιατί το μόνο που κέρδισαν τα παιδιά ήταν ότι κατάλαβαν στο περίπου τι ήθελα από αυτά, όταν τους είπα να φτιάξουν τα δικά τους μοτίβα. Στην πράξη η όποια κατανόηση επιτεύχθηκε μόλις τα παιδιά έδρασαν ελεύθερα. Στο μέλλον πιθανότατα θα ασχοληθώ μόνο με την πρώτη δραστηριότητα του σχολικού βιβλίου, για να πάρουν μια γεύση για το τι θα τους ζητήσω, και μετά κλείσιμο των βιβλίων και όπου κατευθύνουν το μάθημα οι επόμενοι μαθητές μου.

10 σχόλια:

sterzidi είπε...

Οδυσσέα καλησπέρα,
Μου άρεσαν και οι 3 τελευταίες σου αναρτήσεις γιατί έχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά. Ξεκινούν από τον κόσμο των παιδιών με χειροπιαστά αντικείμενα. Στη φυσική υποθέτω ότι η διδασκαλία έγινε με πείραμα επίδειξης αλλά οι 2 διδασκαλίες στα μαθηματικά έγιναν με κυβάκια, αντικείμενα που θα έπρεπε να υπάρχουν σε κάθε τάξη και να τα χρησιμοποιούμε, και να "παίξουν" τα παιδιά μαθηματικά.
Μπράβο. μου έδωσες ιδέες για τα μοτίβα... (Εγώ έχω προτείνει μία διαθεματική διδασκαλία...)

Odysseas είπε...

Sterzidi,

στη Φυσική όλοι οι μαθητές σηκώθηκαν στην έδρα για να παίξουν ένας ένας με τις ηλεκτρογεννήτριες. Με πειράματα επίδειξης δε βλέπεις προκοπή. Πάντως το κόστος τους είναι χαμηλό. Κόστισαν 48 € και οι δύο μαζί, ενώ τα λεφτά τα έβαλε το σχολείο.

Πού έχεις προτείνει τη διαθεματική διδασκαλία των μοτίβων;

sterzidi είπε...

Η τελευταία μορφή του σεναρίου ήταν εργασία για τα ΠΑΚΕ. Κράτησε τη θεωρητική τεκμηρίωση και τα φύλλα εργασίας.
http://www.ictscenarios.gr/b-epipedou/patterns.pdf
Γενικότερα μερικές από τις προτάσεις διδασκαλίας και όχι μόνο θα βρεις στο δικτυακό μου τόπο που χρήζει ανανέωσης:
www.ictscenarios.gr
(Αν σε ενδιαφέρει, είσαι ευπρόσδεκτος να καταθέσεις προτάσεις διδασκαλίας)

Odysseas είπε...

Sterzidi, είναι έξυπνη η ιδέα σου με τα μοτίβα. Μου έδωσες καινούριες κατευθύνσεις. Επίσης, μπορείς να αναδημοσιεύσεις ό,τι σου αρέσει από το blog μου.

sterzidi είπε...

Θα πρόσθετα ότι γενικότερα είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον το blog σου. Απλώς για να καταλάβουν και όσοι διαβάζουν το blog έχουμε ξεκινήσει ενδιαφέρουσες συζητήσεις στο http://scienceteachersnet.ning.com/group/athmia

Όταν περάσεις από την Αθήνα θα χαρώ να τα πούμε...

ntinosraptis είπε...

Γεια σου Οδυσσέα,
για να καταλάβω το δεύτερο μοτίβο (αυτό με τα κίτρινα τετράγωνα) θέλω να κάνω δύο ερωτήσεις:

1) Το σχήμα μεγέθους 7 είναι ίδιο με το σχήμα μεγέθους 3, το σχήμα μεγέθους 8 με αυτό μεγέθους 2 και το σχήμα μεγέθους 9 με αυτό μεγέθους 1;

2) Αν η απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση είναι "ναι", τότε το σχήμα μεγέθους 10 απαρτίζεται από 1 τετράγωνο ή από κανένα τετράγωνο;

Odysseas είπε...

ntinosraptis,

καταρχήν σ' ευχαριστώ για την απάντησή σου.

1) Ναι

2) από 1 τετράγωνο

Αυτή η σύλληψη του πιτσιρικά είναι μοτίβο; Το ρωτάω γιατί δεν είμαι μαθηματικός και ελπίζω να μην είπα καμιά ανοησία. Μου θυμίζει αμυδρά κάτι στα μαθηματικά για κάποια σύνολα που ξεκινούν σαν 0, 1, 2, 3, 4... σταματούν σε κάποιον αριθμό και ξεκινούν πάλι από την αρχή. Θυμάμαι καλά;

ntinosraptis είπε...

Το απόγευμα έγραψα μια μακροσκελή απάντηση (όπως αυτή εδώ) αλλά το blogspot αρνήθηκε να τη δημοσιεύσει κι ο κόπος μου πήγε στράφι (δεύτερη φορά την παθαίνω με blogspot). Έπαθα και έμαθα όμως, από τώρα και στο εξής όλα γράφονται στο notepad και μετά επικολλούνται στο blog!

Λοιπόν, σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει το σχολικό βιβλίο, αριθμητικό μοτίβο είναι μια ακολουθία. Στα μαθηματικά ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών (χωρίς το μηδέν). Εγώ κατασκεύασα μια ακολουθία που δίνει το πλήθος των κύβων για κάθε μέγεθος του σχήματος (αν και δεν είμαι ευχατριστημένος με την κομψότητά της) οπότε θεωρώ πως ναι, είναι μοτίβο η σύλληψη του παιδιού.

Για να δώσω αυτήν την ακολουθία ορίζω τα παρακάτω μεγέθη:
ν: το μέγεθος του σχήματος (ανεξάρτητη μεταβλητή)
α_ν: το πλήθος των κύβων του σχήματος μεγέθους ν (εξαρτημένη μεταβλητή)
κ: το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 8 - με μαθηματικούς όρους θα γράφαμε ν=κ(mod 8) (εξηγώ παρακάτω γιατί με ενδιαφέρει το 8)

Η ακολουθία είναι η α_ν =
1) ν, αν 1<=κ<=5
2) 10 - ν, αν 6<=κ<=7
3) 2, αν κ=0

ntinosraptis είπε...

(συνέχεια)Για να εξηγήσω τα παραπάνω με μαθηματικούς όρους που θα καταλάβαινε ένα παιδί του δημοτικού, θα παραθέσω αρχικά μια λίστα, στην αριστερή στήλη της οποίας δίνεται το μέγεθος του σχήματος και στη δεξιά το αντίστοιχο πλήθος των κύβων.
1->1
2->2
3->3
4->4
5->5
6->4
7->3
8->2

9->1
10->2
11->3 κ.ο.κ.

Άρα η περίοδος στην εμφάνιση των αριθμών είναι 8, γι' αυτό και χρειάστηκε παραπάνω να υπολογίσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 8.
Αν λοιπόν θέλουμε να υπολογίσουμε το πλήθος των κύβων αλγοριθμικά εργαζόμαστε ως εξής:
Διαιρώ Μέγεθος:8
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 1, τότε οι κύβοι είναι 1
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 2 ή 0 (τέλεια διαίρεση), τότε οι κύβοι είναι 2
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 3 ή 7, τότε οι κύβοι είναι 3
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 4 ή 6, τότε οι κύβοι είναι 4
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 5, τότε οι κύβοι είναι 5

Τα σύνολα στα οποία αναφέρεσαι υποψιάζομαι ότι είναι οι κυκλικές ομάδες (σημαντικά εργαλεία για να κατανοήσουμε τις ισομετρίες στη Γεωμετρία - οι συμμετρίες είναι περιπτώσεις ισομετριών). Εδώ μας ενδιαφέρει η Ζ_8, της οποίας τα στοιχεία είναι οι αριθμοί {0,1,2,3,4,5,6,7}.
Αν για παράδειγμα θέλω να υπολογίσω πόσους κύβους έχει το σχήμα μεγέθους 15, παρατηρώ ότι 15=7(mod 8), άρα α_15 = 10-7 = 3 (κύβοι).

Ελπίζω να βοήθησα!

Odysseas είπε...

Εννοείται πως βοήθησες! Σ' ευχαριστώ. Σε μια τέτοια λύση είχα καταλήξει. Έχω ασχοληθεί με τον προγραμματισμό και μου είναι οικείο το mod. Απλώς δεν ήξερα αν αυτή η περίπτωση είναι μοτίβο.

Βέβαια, τα μικρά δεν είχαν παρόμοιες απορίες. Γι' αυτά ήταν ξεκάθαρο(!!!) ότι ήταν μοτίβο.

Τέλος, μάλλον τις κυκλικές ομάδες πρέπει κι εγώ να εννοώ και θυμόμουν το mod.

Και πάλι σ' ευχαριστώ!