7 Μαρτίου 2011

Επίλυση προβλημάτων στα Μαθηματικά

Όταν βάζω ένα πρόβλημα στα μαθηματικά κάποιοι μαθητές το λύνουν και κάποιοι όχι. Συνηθισμένη ιστορία. Στα όρια της κοινοτοπίας. Μόνο που εγώ δεν το βλέπω έτσι. Σκάω και δεν μπορώ με τίποτα να δεχτώ πως κάποιοι θα μείνουν πίσω. Προσπαθώ, προσπαθώ και πάλι προσπαθώ όλοι οι μαθητές να συλλάβουν κάποιες βασικές έννοιες, να μπορούν να λύσουν κάποια βασικά προβλήματα. Άλλοτε τα καταφέρνω, άλλοτε όχι. Πάντως μέσα από αυτήν την προσπάθεια έχω καταλήξει σε κάποια συμπεράσματα που συνήθως δεν αναφέρονται ή δεν τονίζονται όσο πρέπει σε εγχειρίδια της Διδακτικής των Μαθηματικών.

Μία σημαντική στρατηγική για την επίλυση προβλημάτων είναι να μπορεί να βρει ο μαθητής αν το παρόν πρόβλημα μοιάζει με κάποιο που έχει λύσει στο παρελθόν και στηριζόμενος σ’ αυτήν την ομοιότητα να το λύσει. Για να γίνει όμως αυτό πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι οι μαθητές έχουν κατανοήσει καλά το παλιό πρόβλημα. Δυστυχώς, πολλές φορές οι μαθητές υποστηρίζουν ότι έχουν καταλάβει ένα πρόβλημα, βλέπουμε όλη την τάξη να γνέφει καταφατικά όταν το εξηγούμε, αλλά στην πραγματικότητα κάποιοι είτε ψεύδονται είτε αγνοούν ότι δεν το έχουν καταλάβει. Επομένως, πρέπει να είμαστε συνέχεια σε εγρήγορση, ειδάλλως δε θα μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτήν την στρατηγική. Ένας απλός τρόπος για να το διαπιστώσουμε είναι να βάλουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα σε σύντομο χρονικό διάστημα. Εκεί θα φανεί ποιοι μαθητές δυσκολεύονται. Με επιμονή και υπομονή θα το κατανοήσουν κι αυτοί.

Άλλο κρυφό χαρτί είναι η ικανότητα των μαθητών στις πράξεις με το μυαλό. Αν και παραγνωρισμένη ικανότητα στο ελληνικό σχολείο, διευκολύνει αφάνταστα τους μαθητές να βρίσκουν μοτίβα, σχέσεις ανάμεσα στα νούμερα και να βλέπουν οργάνωση και τάξη εκεί που για άλλους υπάρχει χάος.

Επιπλέον, χρήσιμο είναι οι μαθητές να αναγνωρίσουν ότι οι ερωτήσεις που πολλές φορές τους έρχονται στο νου όταν προσπαθούν να λύσουν ένα πρόβλημα είναι πολύτιμες. Πιθανότατα υποδηλώνουν κάποια πράξη, κάποιο ενδιάμεσο βήμα που πρέπει να ακολουθήσουν. Το λέω αυτό γιατί συνήθως τα παιδιά τις αντιμετωπίζουν σαν απορία ή σαν άγνωστη λέξη και παραλύουν, αντί να επιχειρούν να ξεκινήσουν από εκεί την επίλυση του προβλήματος.

Σχεδόν πάντα μιλούν με αριθμούς χωρίς να κατανοούν πως δεν είναι «πέντε» μα είναι «πέντε μήλα που σάπισαν» ή «πέντε μέτρα ύφασμα που ξέμειναν». Π.χ. στο πρόβλημα «Σε μια θεατρική παράσταση τα 2/5 των θεατών ήταν παιδιά και το ένα 1/6 ήταν γυναίκες. Ποιο μέρος ήταν οι άντρες;» ένας μαθητής μου έκανε την αφαίρεση 2/5 – 1/6 για να βρει τους άντρες. Μόλις του πρότεινα μαζί με τα κλάσματα να λέει και τι αντιπροσωπεύει ο κάθε αριθμός, να λέει δηλαδή 2/5 παιδιά – 1/6 γυναίκες κατάλαβε το λάθος του.

Πέρα από αυτά, αυτό που δε λένε ή δεν τονίζουν αρκετά τα εγχειρίδια Διδακτικής είναι η σημασία της κατανόησης της έννοιας των τεσσάρων πράξεων από τους μαθητές. Οι παραπάνω στρατηγικές, η συστηματική προσέγγιση ενός προβλήματος, η δημιουργικότητα του μαθητή δεν έχουν νόημα, αν οι δομικοί λίθοι, οι τέσσερις πράξεις, δεν έχουν κατανοηθεί πλήρως από τους μαθητές. Αυτό το κομμάτι όμως είναι θέμα μιας άλλης ανάρτησης.

4 σχόλια:

Vasilis Simeonidis είπε...

Ναι, τα μαθηματικά συνδεμένα με την απτή εμπειρική πραγματικότητα και όχι στη μεταφυσική μακαριότητα της καθαρότητάς τους.

Νομίζω ότι με τον ίδιο τρόπο σκέφτονται και οι μαθηματικοί, μόνο που σε κάποιες περιπτώσεις φαντάζονται το απτό που δε μπορούν να δουν.

καλή σαρακοστή

Odysseas είπε...

Χρειάζεται και το αφηρημένο στοιχείο στα μαθηματικά, μόνο που για μένα -και υπάρχει μια ολόκληρη σχολή διδακτικής πίσω από αυτή την άποψη- πρέπει να ξεκινάμε από το συγκεκριμένο και να καταλήγουμε στο αφηρημένο.

Καλή Σαρακοστή!

ntinosraptis είπε...

Προσωπικά έχω να προτείνω το σημαντικότερο ανάγνωσμα ευρετικής των τελευταίων δεκαετιών, το Πώς να το λύσω; του G. Polya. Είναι "must" για όποιον ασχολείται με την διδακτική των μαθηματικών. Εκεί περιγράφει με σημαντική λεπτομέρεια τα στάδια από τα οποία θεωρεί ο συγγραφέας ότι πρέπει να περάσει κανείς για να φτάσει στη λύση ενός προβλήματος. Οδυσσέα, πιστεύω ότι εκεί θα βρεις αυτό που ψάχνεις, μιας και γυρεύεις συγκεκριμένα πράγματα πάνω σε αυτό που ονομάζουμε στη διδακτική των μαθηματικών "ευρετική". Ενδεχομένως να αναγνωρίσεις και ψήγματα της δικής σου σκέψης, που απ' ότι διαβάζω καταδεικνύει μεγάλη εμπειρία και αυξημένη παρατηρητικότητα.

Odysseas είπε...

ntinosraptis,

το έχω διαβάσει το βιβλίο του Polya (κλασικό) και είναι ένα από αυτά που υπονοώ όταν μιλάω για "εγχειρίδια της Διδακτικής των Μαθηματικών".

Το πρόβλημα που αντιμετωπίζω είναι πως από ένα σημείο και μετά δε νομίζω ότι ανταποκρίνεται πλήρως στην Πρωτοβάθμια. Χρειάζεται κάποιο συμπλήρωμα. Οι παρατηρήσεις μου εκεί στοχεύουν. Είναι επισημάνσεις που προσπαθούν να άρουν πολλά από τα εμπόδια που συναντούν οι μαθητές στην προσπάθειά τους να λύσουν ένα πρόβλημα. Πώς για παράδειγμα να καλλιεργήσεις τη βασική στρατηγική του Polya, την αναζήτηση ενός παρόμοιου προβλήματος, αν δεν έχει ο εκπαιδευτικός από πριν εξασφαλίσει ότι οι μαθητές έχουν κατανοήσει το πρόβλημα στο οποίο ευελπιστεί να στηριχτούν;

Πέρα από αυτά, ένα άλλο σημαντικό στοιχείο είναι να ρωτάμε τους μαθητές πώς σκέφτηκαν και έλυσαν το πρόβλημα (μεταγνώση). Μ' αυτό τον τρόπο ανακαλύπτουμε πιθανά προβλήματα και ίσως και να βρούμε τρόπους να τα λύσουμε στο μέλλον.

Πιο κάτω έχω γράψει κάτι για τον Μέσο Όρο. Αν δε βαριέσαι του ρίχνεις μια ματιά.