Πώς διδάσκουμε τη διαίρεση των κλασμάτων; Πρώτα από όλα ξεχάστε το: «αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα και κάνω πολλαπλασιασμό». Γιατί; Επειδή είναι μια ακατανόητη φράση.
Στην πραγματικότητα η διαίρεση των κλασμάτων, η διαίρεση δύο δεκαδικών αριθμών και η απλοποίηση στηρίζονται σε μια πολύ απλή ιδιότητα της διαίρεσης: Αν πολλαπλασιάσεις τον διαιρετέο και τον διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το αποτέλεσμα της διαίρεσης δεν αλλάζει. Π.χ.,
10:2 =
(10·2):(2·2)=
20:4=5
Γιατί ισχύει αυτό; Τα παιδιά του Δημοτικού μπορούν να ικανοποιηθούν αν πειραματαστούν με μερικές διαιρέσεις με το κομπουτεράκι. Αν όμως θέλουμε να τους το αποδείξουμε, δεν έχουμε παρά να χρησιμοποιήσουμε κυβάκια ή τετραγωγισμένο χαρτί. Εκεί θα τους ζητήσουμε να φτιάξουν ένα ορθογώνιο σχήμα, λ.χ., 2Χ3 (βλέπε και τη φωτογραφία).
Στη συνέχεια, θα τους ζητήσουμε να σχηματίσουν μια διαίρεση με βάση το σχήμα, π.χ. 6:2=3. Μετά, είτε θα τους προτρέψουμε, χρησιμοποιώντας τα κυβάκια ή το τετραγωνισμένο χαρτί, να βρουν τι θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον διαιρετέο (το εμβαδόν δηλαδή) και τον διαιρέτη (τη μία πλευρά) είτε εμείς θα διπλασιάσουμε το εμβαδόν και την πλευρά όπως φαίνεται στη φωτογραφία.
Έτσι, θα παρατηρήσουν ότι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου δεν αλλάζει ποτέ. Άρα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης παραμένει σταθερό.
Μόλις βεβαιωθούμε ότι οι μαθητές το έχουν καταλάβει, προχωράμε στη διαίρεση των κλασμάτων. Κι εδώ είτε τους το δείχνουμε εμείς είτε (σαφώς δυσκολότερο) τους ζητάμε να χρησιμοποιήσουν την προηγούμενη ιδιότητα για να διαιρέσουν δύο κλάσματα. Στη δεύτερη περίπτωση είναι σημαντικό να τους θυμίσουμε τους αντίστροφους αριθμούς και τη διαίρεση με το 1. Όποιον τρόπο και να επιλέξουμε, το θέμα είναι να καταλάβουν οι μαθητές το εξής:
2/3:4/5=
(2/3·5/4):(5/4·4/5)= αντίστροφοι αριθμοί
(2/3·5/4):1= διαίρεση με το 1
2/3·5/4
Για τον ίδιο ακριβώς λόγο έχουμε:
5,5:2,3=
(5,5·10):(2,3·10)=
55:23
Επίσης, και η απλοποίηση στηρίζεται στην ίδια ιδιότητα:
24/32=
(3·8)/(4·8)=
3/4
Στην πραγματικότητα η διαίρεση των κλασμάτων, η διαίρεση δύο δεκαδικών αριθμών και η απλοποίηση στηρίζονται σε μια πολύ απλή ιδιότητα της διαίρεσης: Αν πολλαπλασιάσεις τον διαιρετέο και τον διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το αποτέλεσμα της διαίρεσης δεν αλλάζει. Π.χ.,
10:2 =
(10·2):(2·2)=
20:4=5
Γιατί ισχύει αυτό; Τα παιδιά του Δημοτικού μπορούν να ικανοποιηθούν αν πειραματαστούν με μερικές διαιρέσεις με το κομπουτεράκι. Αν όμως θέλουμε να τους το αποδείξουμε, δεν έχουμε παρά να χρησιμοποιήσουμε κυβάκια ή τετραγωγισμένο χαρτί. Εκεί θα τους ζητήσουμε να φτιάξουν ένα ορθογώνιο σχήμα, λ.χ., 2Χ3 (βλέπε και τη φωτογραφία).
Έτσι, θα παρατηρήσουν ότι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου δεν αλλάζει ποτέ. Άρα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης παραμένει σταθερό.
Μόλις βεβαιωθούμε ότι οι μαθητές το έχουν καταλάβει, προχωράμε στη διαίρεση των κλασμάτων. Κι εδώ είτε τους το δείχνουμε εμείς είτε (σαφώς δυσκολότερο) τους ζητάμε να χρησιμοποιήσουν την προηγούμενη ιδιότητα για να διαιρέσουν δύο κλάσματα. Στη δεύτερη περίπτωση είναι σημαντικό να τους θυμίσουμε τους αντίστροφους αριθμούς και τη διαίρεση με το 1. Όποιον τρόπο και να επιλέξουμε, το θέμα είναι να καταλάβουν οι μαθητές το εξής:
2/3:4/5=
(2/3·5/4):(5/4·4/5)= αντίστροφοι αριθμοί
(2/3·5/4):1= διαίρεση με το 1
2/3·5/4
Για τον ίδιο ακριβώς λόγο έχουμε:
5,5:2,3=
(5,5·10):(2,3·10)=
55:23
Επίσης, και η απλοποίηση στηρίζεται στην ίδια ιδιότητα:
24/32=
(3·8)/(4·8)=
3/4
Σχόλια